Derivación gráfica de las curvas isobeneficio
Esta es una aportación original del profesor Juan Cantero que explica como se pueden derivar las curvas isobeneficio.

Cuando se trabajan con curvas isobeneficio la justificación de su forma gráfica se basa en la función matemática que la define. No obstante, con el fin de analizarlas de forma más completa, y entender como cualquier cambio de determinados factores puede influir en ellas, he considerado conveniente establecer un procedimiento gráfico que permite estimarlas.

Consideremos el siguiente gráfico integrado por cinco paneles. En el primero de ellos trazaremos la curva de demanda cuya curva isobeneficio pretendo calcular (empresa A), en el segundo la función de demanda del bien, que en este caso consideraremos sustitutivo del anterior (empresa B). En un tercer gráfico estableceremos las funciones de ingreso total y coste total, con el fin de estimar el nivel de producción que en cada caso le asegura a la empresa A la maximización del beneficio. Un cuarto plano lo utilizaremos para poprde cambiar la información del eje horizontal al vertical, y por último trazaremos el plano en donde dibujaremos la función isobeneficio de la empresa A, que relaciona las cantidades de esta empresa con la de su rival.

Consideremos la función de demanda del empresario rival y un punto sobre la misma, que refleja un precio y nivel de producción determinado. Si la función de demanda de A sigue esta trayectoria, podemos estimar su función de IT (con forma de U invertida que alcanza su máximo en aquel punto de la función de demanda de elasticidad precio unitaria).

Si la estructura de costes a corto plazo de la empresa es la siguiente, valoremos en primer término de que forma se podría estimar gráficamente la función isobeneficio de A que refleje beneficios económicos normales. Estos beneficios se darán cuando se corten las funciones de ingreso y coste total. Por tanto, consideraremos de una parte los dos niveles de producción donde esto ocurre, y los pondremos en relación con la producción que el empresario rival tiene en ese momento. Obteniendo de este modo dos puntos de la curva de isobeneficio.

Si el empresario rival redujese su precio, aumentaría su demanda y, dado que en este caso estamos considerando que los bienes que ofertan las empresas son sustitutivos, provocaría un movimiento paralelo de la función de demanda del empresario A, que cambiaría su función de IT. Coseguir ahora beneficios normales requiere dos niveles de producción distintos a los anteriores. Estableceremos la vinculación gráfica de estos con la producción que se le demanda a la empresa B, y conseguimos dos nuevos puntos de la función isobeneficio.
Si la empresa B nuevamente rebaja su precio, el proceso anterior se repite, es decir, la función de demanda de A se desplaza paralelamente hacia la izquierda, cambia el IT de la empresa y, en este caso, para conseguir el beneficio normal la empresa A sólo puede producir un cantidad.
Lógicamente si el empresario B sigue rebajando su precio, la empresa A no podrá conseguir el beneficio normal, cuya función isobeneficio estamos calculando.
Si unimos los puntos anteriores podemos adivinar la trayectoria que seguirá la curva isobeneficio que representa el beneficio normal del empresario A, que en el caso de bienes sustitutivos será cóncava respecto al eje que representa la producción de esta empresa.
Si ahora nos proponemos derivar la curva isobeneficio que represente determinado nivel de beneficio extraordinario, por ejemplo el siguiente, realizaremos el mismo razonamiento gráfico partiendo del precio y cantidad que inicialmente tenía el empresario B., y veremos en este caso, como tras la primera rebaja que este realiza de su precio, el empresario A sólo puede conseguir ese beneficio extraordinario con un nivel de producción, habríamos llegado de este modo a la cima de la curva isobeneficio que representa el volumen de beneficio extra que hemos considerado. Tras unir los puntos estimados, veremos como la curva isobeneficio que representa dicho beneficio extraordinario se situará pòr debajo de la anterior. Por tanto queda demostrado el por qué las curvas isobenefico que se representa sobre el eje de cantidades reflejaran más beneficio cuanto más próximas se encuentren al eje, y viceversa.